掌握了什么思想让你的数学水平有了质的飞跃?

2022-12-01 10:00:07
高等数学'

泰格马克的Our Mathematical Universe(中译名太尴尬了)里的数学哲学思想。那个时候我做了套类似大卫·克里斯蒂安大历史的东西,在这个基础上,泰格马克的思想成功引起了我对数学的兴趣,把我从二次函数都没整明白的水平变成了高一期末140(错两道填空,低级错误,哥们讨厌计算)。

其实很多事情都不是难不难的问题,关键是有没有兴趣,有没有动机。所谓“可上九天揽月,可下五洋捉鳖,谈笑凯歌还。世上无难事,只要肯登攀。”没有兴趣没有动机就没有办法学下去,更遑论学不学得会。

另外就是做那套类似大卫·克里斯蒂安大历史的东西的时候发展的自己的力量和认识到如何通过事物的联系来认识事物(所以当我看到米田引理的时候是有点惊奇的),这些东西对我学数学的影响很大。我上高中的时候学数学的习惯就是所有公式定理都要自己去探照感受和推导。这对我理解数学帮助很大。尤其是高中讲到微积分的时候,这个习惯帮我做出了大概高数上册的绝大多数主要定理。因为用的是高中知识,所以几乎没有严谨的东西。不过这没有所谓,重要的是你发展了自己的力量,用自己的心智去探照和感受了数学。我现在把这些东西称之为杂草,杂草就是需要阳光雨露去滋养然后被修剪的东西。这里的不严谨并没有太大的所谓,只要你的直觉(或者用小平邦彦说的数感)没问题,那么你总是可以把这些东西严格化的。(我都把我的签名改成Galois的“我们是孩子,但我们精力充沛,勇往直前。”了)反而你光知道什么是严格的东西但你没有数感什么都感觉不到的话有很大的问题。这样相当于瞎子,只能走别人给你规划好的盲道。丛林原野天空海洋都与你无缘。然而数学的世界里海阔凭鱼跃,天高任鸟飞。(顺便说一下,后来的那种严格化是陶哲轩在《陶哲轩实分析》里教给我的。这本书给我的触动很大,给予了我非常多的营养。以后有机会见到他一定要当面感谢他。)我感觉这种致盲作用的原因有很多,除了众所周知的,还有一个原因大概是绝大多数人从高中一上来接触到的就是已经被弄的严格而完善,有时候反直觉的数学分析了。许多人没有经历那个荒芜到满地杂草,阳光雨露滋养后再修剪的过程。他们脑子里的过程大概是荒芜的土地,然后被移植了一大片草皮。

紧接着就是Bourbaki学派的结构主义,在那本《数学的建筑》里,他们提出数学就是集合上的序结构,代数结构,拓扑结构,以及这三种结构的复合结构。(当然现在看这种观点稍微有点过时,但仍然非常有价值。)这里明确的提出了我们研究数学是在研究结构而不是在干一些奇奇怪怪的事情。这里可以回溯回泰格马克的思想,两者结合着看很有意思。

然后自然就是范畴论了,在范畴的视角下俯瞰数学是很清楚的。很多东西都可以因此得到很自然的解释。(随便举个例子,一些定理无非是因为一个图交换而已,还有一些东西为什么要这么定义的问题)而米田引理的“哲学”(我们必须小心地使用这个词),态射决定对象很让人惊喜,因为当初做的那套类似大卫·克里斯蒂安的大历史的东西里我就是这样思考问题的。

在学和做数学的时候我萌生出来了一些信念,比如数学是很自然的,数学是一个整体,数字是一种艺术之类。惊喜的发现前贤也有过这样的念头(Grothendieck/Atiyah/Hardy) 这大概是兰亭集序里王羲之说的“每览昔人兴感之由,若合一契,未尝不临文嗟悼,不能喻之于怀。”只不过这里要把悲调过来成为喜而已。

还有就是感受到身心健康对做数学带来的好处。养生对做数学的帮助很大。

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重视现实经验和数理逻辑。

《从一到无穷大》这本书重新打开了我理解数学的大门。书里讲解“无穷”的概念,以及比较“无穷”的大小的时候,用了非常贴近现实的例子和方法:逐个比较或逐一编号。

这些方法在幼儿时期学习认数和数数时经常用,到后来学得越来越多,就逐渐抛弃这些最基本的原理了。好在很早地看到了这本书,又把数学拉回了现实世界,在大学学习微积分和ε–δ语言时顺畅了许多。

大学刚接触ε–δ语言时,也有不少同学表示难以理解,其实ε–δ语言描述无穷小量的原理跟幼儿数数和比大小一样:不管你给出一个多小的数,我都能计算证明出存在满足条件的数字可以比你的更小。

对于集合、划分之类非常基础的概念,其实描述的原理都跟现实生活中的把东西归类,把几个归类相互比较,找出共有的、独有的、都没有的,等等,一模一样。

后来慢慢领悟到,即使是高冷又抽象的数学,在初等领域和不那么专业的领域里,都是与现实中最基本最简单的规律是一致的,只是逻辑分析的复杂程度不同,幼儿学习的数学和大学里的数学的原理是一样的。

这也改变了我对自然科学的学习思路,从空浮虚无地理解抽象地概念和公式,转变为重视实验和现实规律,从物理概念所描述的现实规律 以及实验现象等实在的东西入手,去理解和推导抽象的概念公式。经过复杂过程推导出来的过程,再去想办法找到它们对应的现实规律。

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